Franklin savait compter deux par deux
De la base 10 à la base 2
Maintenant que tu as compris comment décomposer un nombre en base 10, tu vas apprendre à transformer un nombre écrit en base 10 en base 2 et inversement.
Pour rappel, la base 2 a deux chiffres : 0 et 1.
Prends ce tableau en référence
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
La base 2 ne fait que se multiplier par 2 à chaque nouvel indice.
Le tableau va jusqu'à 1024 car c'est le strict minimum à connaître par coeur.
Prends un nombre, complètement au hasard : 651.
Tu vas le soustraire par la puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche.
Reprends le tableau. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 651 est... 512.
\[ 651 - 512 = 139\]
Tu as 1 fois 512 dans ton nombre de départ, reporte le chiffre 1 sous 512.
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 |
Recommence avec le nouveau nombre qui est 139. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 139 est... 128. Tu as 1 fois 128 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 128.
\[ 139 - 128 = 11 \]
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 | 1 |
Recommence avec le nouveau nombre qui est 11. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 11 est... 8. Tu as 1 fois 8 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 8.
\[ 11 - 8 = 3 \]
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 | 1 | 1 |
Recommence avec le nouveau nombre qui est 3. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 3 est... 2. Tu as 1 fois 2 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 2.
\[ 3 - 2 = 1 \]
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 | 1 | 1 | 1 |
Recommence avec le nouveau nombre qui est 1. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 1 est... 1. Tu as 1 fois 1 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 1.
\[ 1 - 1 = 0 \]
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Il te reste 0, tu as terminé. Reprends le tableau et ajoute 0 aux cases où tu n'as pas écrit 1.
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Ce sont les puissances de 2 que tu n'as pu soustraire à chaque nombre que tu avais.
Tu peux donc dire que 651 en base 10 s'écrit 1010001011 en base 2.
De la base 2 à la base 10
Tu vas maintenant faire l'inverse, passer de la base 2 à la base 10. Toujours avec le tableau. Tu vas voir ça va être encore plus rapide.
Prenons un nombre en base 2 complètement au hasard : 1010011010.
Tu vas inscrire ce nombre dans le tableau le plus à droite possible.
| Indice | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Notation | \[ 2^{10} \] | \[ 2^9\] | \[ 2^8\] | \[ 2^7\] | \[ 2^6\] | \[ 2^5\] | \[ 2^4\] | \[ 2^3\] | \[ 2^2\] | \[ 2^1\] | \[ 2^0\] |
| Valeur | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Maintenant, tu n'as qu'à reprendre les puissances de 2 avec un 1 en dessous et les sommer ensemble.
\[ 512 + 128 + 16 + 8 + 2 = 666 \]
Dans le cas de grands nombres
Si tu dois passer de la base 10 à la base 2 mais avec un nombre plus grand que le tableau, il existe une technique pour généraliser la transformation.
Prenons un nombre vraiment plus grand que 1024 : 6789.
Tu vas diviser par 2 ton nombre et garder à chaque fois le reste de côté. Rappelle toi de tes cours de primaire, c'est une opération euclidienne.
L'opération mathématique pour avoir le reste est %.
Ainsi si j'écris \[ x \% 2 = 0 \] c'est qu'il reste 0 à la division x / 2. Tu peux aussi dire que x est pair.
Et si j'écris \[ x \% 2 = 1 \] c'est qu'il reste 1 à la division x / 2. Tu peux aussi dire que x est impair.
Tu vas faire apparaître le résultat petit à petit avec cet affichage :
Résultat =
Il se remplira à chaque itération de tes calculs en y inscrivant le reste que tu viens de calculer sur la gauche.
\[ 6789 / 2 = 3394 \] \[ 6789 \% 2 = 1 \] Résultat = 1
\[ 3394 / 2 = 1697 \] \[ 3394 \% 2 = 0 \] Résultat = 01
\[ 1697 / 2 = 848 \] \[ 1697 \% 2 = 1 \] Résultat = 101
\[ 848 / 2 = 424 \] \[ 848 \% 2 = 0 \] Résultat = 0101
\[ 424 / 2 = 212 \] \[ 424 \% 2 = 0 \] Résultat = 00101
\[ 212 / 2 = 106 \] \[ 212 \% 2 = 0 \] Résultat = 000101
\[ 106 / 2 = 53 \] \[ 106 \% 2 = 0 \] Résultat = 0000101
\[ 53 / 2 = 26 \] \[ 53 \% 2 = 1 \] Résultat = 10000101
\[ 26 / 2 = 13 \] \[ 26 \% 2 = 0 \] Résultat = 010000101
\[ 13 / 2 = 6 \] \[ 13 \% 2 = 1 \] Résultat = 1010000101
\[ 6 / 2 = 3 \] \[ 6 \% 2 = 0 \] Résultat = 01010000101
\[ 3 / 2 = 1 \] \[ 3 \% 2 = 1 \] Résultat = 101010000101
\[ 1 / 2 = 0 \] \[ 1 \% 2 = 1 \] Résultat = 1101010000101
Ta dernière division donne 0. Tu as terminé.
Tu sais maintenant que 6789 s'écrit 1101010000101 en base 2.