Franklin savait compter deux par deux

De la base 10 à la base 2

Maintenant que tu as compris comment décomposer un nombre en base 10, tu vas apprendre à transformer un nombre écrit en base 10 en base 2 et inversement.

Pour rappel, la base 2 a deux chiffres : 0 et 1.

Prends ce tableau en référence

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

La base 2 ne fait que se multiplier par 2 à chaque nouvel indice.

Le tableau va jusqu'à 1024 car c'est le strict minimum à connaître par coeur.

Prends un nombre, complètement au hasard : 651.

Tu vas le soustraire par la puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche.

Reprends le tableau. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 651 est... 512.

$651 - 512 = 139$

Tu as 1 fois 512 dans ton nombre de départ, reporte le chiffre 1 sous 512.

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1

Recommence avec le nouveau nombre qui est 139. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 139 est... 128. Tu as 1 fois 128 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 128.

$139 - 128 = 11$

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1		1

Recommence avec le nouveau nombre qui est 11. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 11 est... 8. Tu as 1 fois 8 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 8.

$11 - 8 = 3$

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1		1				1

Recommence avec le nouveau nombre qui est 3. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 3 est... 2. Tu as 1 fois 2 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 2.

$3 - 2 = 1$

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1		1				1		1

Recommence avec le nouveau nombre qui est 1. La puissance de 2 inférieure ou égale la plus proche de 1 est... 1. Tu as 1 fois 1 dans ton nouveau nombre, reporte le chiffre 1 sous 1.

$1 - 1 = 0$

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1		1				1		1	1

Il te reste 0, tu as terminé. Reprends le tableau et ajoute 0 aux cases où tu n'as pas écrit 1.

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1	0	1	0	0	0	1	0	1	1

Ce sont les puissances de 2 que tu n'as pu soustraire à chaque nombre que tu avais.

Tu peux donc dire que 651 en base 10 s'écrit 1010001011 en base 2.

De la base 2 à la base 10

Tu vas maintenant faire l'inverse, passer de la base 2 à la base 10. Toujours avec le tableau. Tu vas voir ça va être encore plus rapide.

Prenons un nombre en base 2 complètement au hasard : 1010011010.

Tu vas inscrire ce nombre dans le tableau le plus à droite possible.

Indice	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Notation	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Valeur	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre		1	0	1	0	0	1	1	0	1	0

Maintenant, tu n'as qu'à reprendre les puissances de 2 avec un 1 en dessous et les sommer ensemble.

$512 + 128 + 16 + 8 + 2 = 666$

Dans le cas de grands nombres

Si tu dois passer de la base 10 à la base 2 mais avec un nombre plus grand que le tableau, il existe une technique pour généraliser la transformation.

Prenons un nombre vraiment plus grand que 1024 : 6789.

Tu vas diviser par 2 ton nombre et garder à chaque fois le reste de côté. Rappelle toi de tes cours de primaire, c'est une opération euclidienne.

L'opération mathématique pour avoir le reste est %.

Ainsi si j'écris $x \% 2 = 0$ c'est qu'il reste 0 à la division x / 2. Tu peux aussi dire que x est pair.

Et si j'écris $x \% 2 = 1$ c'est qu'il reste 1 à la division x / 2. Tu peux aussi dire que x est impair.

Tu vas faire apparaître le résultat petit à petit avec cet affichage :

Résultat =

Il se remplira à chaque itération de tes calculs en y inscrivant le reste que tu viens de calculer sur la gauche.

$6789 / 2 = 3394$ $6789 \% 2 = 1$ Résultat = 1

$3394 / 2 = 1697$ $3394 \% 2 = 0$ Résultat = 01

$1697 / 2 = 848$ $1697 \% 2 = 1$ Résultat = 101

$848 / 2 = 424$ $848 \% 2 = 0$ Résultat = 0101

$424 / 2 = 212$ $424 \% 2 = 0$ Résultat = 00101

$212 / 2 = 106$ $212 \% 2 = 0$ Résultat = 000101

$106 / 2 = 53$ $106 \% 2 = 0$ Résultat = 0000101

$53 / 2 = 26$ $53 \% 2 = 1$ Résultat = 10000101

$26 / 2 = 13$ $26 \% 2 = 0$ Résultat = 010000101

$13 / 2 = 6$ $13 \% 2 = 1$ Résultat = 1010000101

$6 / 2 = 3$ $6 \% 2 = 0$ Résultat = 01010000101

$3 / 2 = 1$ $3 \% 2 = 1$ Résultat = 101010000101

$1 / 2 = 0$ $1 \% 2 = 1$ Résultat = 1101010000101

Ta dernière division donne 0. Tu as terminé.

Tu sais maintenant que 6789 s'écrit 1101010000101 en base 2.

Pédiluve

Franklin savait compter deux par deux

De la base 10 à la base 2

De la base 2 à la base 10

Dans le cas de grands nombres